Sens de variation d'une fonction

Sens de variation d'une fonction (1)

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Sens de variation d'une fonction
Message de chloe44 posté le 06-05-2009 à 19:56:09 (S | E | F)
Bonjour, j'ai un exercice où j'ai cette fonction :
f(x)=1-(2/(x+3)
et on me demande de déterminer le sens de variation de f sur ]-3;+l'infini[ puis de dresser le tableau de variation, de résoudre f(x)=0 et d'étudier le signe de variation de f(x) sur ]-3;+ l'infini[

Je ne comprends pas comment peut-on trouver le sens de variation de f. J'ai fait cette fonction à la calculatrice et je la trouve croissante mais est-ce suffisant? Y a t-il un moyen de le justifier?
Pour le tableau de variation, j'ai fait une flèche vers le haut...
Si vous pouviez m'aider à comprendre, merci d'avance

Réponse: Sens de variation d'une fonction de taconnet, postée le 06-05-2009 à 23:27:20 (S | E)
Bonjour.

Voici une méthode:

Lien Internet

Voici un exemple concret.

Étudiez le sens de variation de la fonction f définie par :
$y = \frac{2x - 1}{x + 2}$

D_f = R -{-2}

On remarque que f(x) s'écrit aussi :

$y = \frac{2(x + 2)- 5 }{x + 2} = 2 -\frac{5}{x + 2}$

Posons
$-2 < x_1 < x_2 \ on\; a\; donc\\ x_1 + 2< x_2 +2\\\frac{1}{x_1 +2}> \frac{1}{x_2 + 2}\\\frac{5}{x_1 +2}> \frac{5}{x_2 + 2}\\\frac{-5}{x_1 +2} < \frac{-5}{x_2 + 2}\\1 -\frac{5}{x_1 +2} < 1 -\frac{5}{x_2 + 2}\\ donc\\ f(x_1) < f(x_2)\\\\cons\acute{e}quence:\\<br /> x_1 < x_2 \Longrightarrow f(x_1) < f(x_2)$

Sur l'intervalle ] - 2 ; +∞[ la fonction f est croissante.

Remarquer que lorsque x ──> + ∞ alors f(x) ──> 2

y = 2 est une asymptote horizontale.

Autre remarque :

Considérons le point I(-2; 2)

Soit h un réel différent de zéro et distinct de -2.
h non nul et h≠- 2

Calculons successivement f(-2 + h) et f(-2 - h)

$f(-2 + h) = 2 - \frac{5}{h}\\ f(-2- h) = 2 - \frac{5}{-h}\\donc\\ \frac{f(-2+h) +f(-2-h)}{2} = 2$

Ce qui signifie que le point I( -2 ; 2) est centre de symétrie de C_f

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